Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（1）求证：BC∥面AMP；
（2）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（3）求锐二面角M-AB-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）欲证面MAP⊥面SAC，根据面面垂直的判定定理可知在平面MAP内一直线与平面SAC垂直，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，而PM∥BC，从而PM⊥面SAC，满足定理所需条件；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求锐二面角M-AB-C的大小的余弦值．

解答：（1）证明：∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，
∵BC?面AMP，PM?面AMP
∴BC∥面AMP；
（2）证明：∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，
∵AC∩SC=C，∴BC⊥平面SAC，
∵PM∥BC，
∴PM⊥面SAC，
∵PM?面MAP，∴面MAP⊥面SAC；
（3）解：以C为原点，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，

6

3

），B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，

6

3

），S（0，0，

2 6

3

）
∴

AM

=（-1，1，

6

3

），

AB

=（-1，2，0）
设平面MAN的一个法向量为

n

=（x，y，z），则
由

n • AM =0 n • AB =0

，可得

-x+y+ 6 3 =0 -x+2y=0

∴可取

n

=（4，2，

6

）
取平面ABC的一个法向量为

m

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

6

26

=

39

13

∴锐二面角M-AB-C的大小的余弦值为

39

13

．

点评：本题考查线面平行，考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．