Question

如图，在三棱锥S-ABC中，设P、Q为底面△ABC内的两点，且

AP

=

2

5

AB

+

1

5

AC

，

AQ

=

2

3

AB

+

1

4

AC

，则V_S-ABP：V_S-ABQ=

4

5

．

Answer 1

分析：过P作AB、AC的平行线PD、PE，得到平行四边形ADPE，利用向量加法法则可得

AP

=

AD

+

AE

，结合题意得到

AD

=

1

5

AC

且

AE

=

2

5

AB

，因此P到AB的距离等于点C到AB距离的

1

5

，所以△ABP的面积等于△ABC面积的

1

5

．同理△ABQ的面积等于△ABC面积的

1

4

，由此结合锥体体积公式即可算出V_S-ABP：V_S-ABQ的值．

解答：解：过P作AB、AC的平行线PD、PE得平行四边形ADPE
则向量

AP

=

AD

+

AE

∵

AP

=

2

5

AB

+

1

5

AC

，
∴由平面向量的基本定理，可得

AD

=

1

5

AC

且

AE

=

2

5

AB

因此，点P到AB的距离等于点C到AB距离的

1

5

∴

S△ABP

S△ABC

=

1

5

再过Q作AB、AC的平行线QF、QG得平行四边形AFQG
同理可证

AF

=

1

4

AC

且

AG

=

2

3

AB

，
可得点Q到AB的距离等于点C到AB距离的

1

4

，得

S△ABQ

S△ABC

=

1

4

因此，△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

4

5

∵V_S-ABP=

1

3

S_△ABP•d，V_S-ABQ=

1

3

S_△ABP•d．其中d为S到平面ABC的距离
∴V_S-ABP：V_S-ABQ=

4

5

故答案为：

4

5

点评：本题给出三角形ABC内的点P、Q满足的条件，求两个锥体的体积之比．着重考查了平面向量加法法则、平面向量基本定理及其应用和锥体体积公式等知识，属于中档题．