Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=
（1）求数列{a_n}通项a_n；
（2）记 ，试比较T_n与的大小．

Answer 1

解：（1）等比数列{b_n}的公比为q，结合题意可得
，解之得，q=3或q=-4（负值舍去），a₂=6
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，可得a_n=3+（n-1）×3=3n．
（2）由（1），得到{a_n}的前n项和为，
∴
由此可得：
=．
∴
令＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令=0，得n=5；令＞0，得n＞5
∴当n=1，2，3，4时，；当n=5时，；当 n＞5（n∈N₊）时，．
分析：（1）根据等比数列的通项公式，结合题意建立关于q和a₂的方程组，解之可得a₂=6，进而得到{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，用等差数列通项公式可求得数列{a_n}的通项；
（2）根据（1）中求出的{a_n}的通项，结合等差数列求和公式得出，从而化简出，用裂项法求出T_n=，最后根据n与5的大小关系进行讨论，即可得到T_n与的大小的几种情况．
点评：本题给出等差、等比数列模型，求通项公式并比较{a_n}的前n项和的倒数和与的大小．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及用不等式比较大小等知识，属于中档题．