Question

（2007•广州模拟）已知抛物线x²=2py（p＞0），过动点M（0，a），且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，|AB|≤2p，
（1）求a的取值范围；
（2）若p=2，a=3，求直线L与抛物线所围成的区域的面积．

Answer 1

分析：（1）设直线L方程为：y=x+a，与抛物线联立方程组，得x²-2px-2ap=0，由=4p²+8ap＞0，解得a＞-

p

2

，由|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4p2+8ap

≤2p，能求出a的取值范围．
（2）若p=2，a=3，则直线L方程为：y=x+3，抛物线方程为x²=4y，故x²-4x-12=0，解得方程两根为-2和6，直线与抛物线所围成区域的面积为：S=

∫

6 -2

[(x+3)-

x2

4

]dx，由此能得到结果．

解答：解：（1）设直线L方程为：y=x+a，
与抛物线联立方程组，得

y=x+a x2=2py

，
∴x²-2px-2ap=0，
∵直线L与该抛物线交于不同两点A、B，
∴△=4p²+8ap＞0，
解得a＞-

p

2

x₁+x₂=2p，
x₁×x₂=-2ap，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4p2+8ap

≤2p
解得a≤-

p

4

∴-

p

2

＜a≤-

p

4

．
（2）若p=2，a=3，
则直线L方程为：y=x+3，
抛物线方程为x²=4y，

y=x+3 x2=4y

，
∴x²-4x-12=0，
解得方程两根为-2和6，
∴直线与抛物线所围成区域的面积为：
S=

∫

6 -2

[(x+3)-

x2

4

]dx
=

1

2

x²+3x-

x3

12

.

6 -2

=

68

3

．

点评：本题考查直线与抛物线的综合运用，考查定积分的性质和应用．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．