Question

【题目】已知椭圆M：1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为，过点（0，1）的直线l与M交于A，B两点，且．

（1）求M的方程；

（2）求点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x2+2y2＝2y．

【解析】

（1）根据题意2a＝2，，解方程组即可求解.

（2）当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k即可求出轨迹方程.

（1）由题意可知，长轴长2a＝2，即a，离心率e，

则c＝1，b2＝a2﹣c2＝1，

所以椭圆M的方程为；

（2）当直线AB的斜率存在且不为0，

设直线AB的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2+4kx＝0，

解得x1＝0，x2，y1＝1，y2，

由题意可知，P为AB的中点，

所以，消去k，整理得x2+2y2＝2y，

当斜率不存在时，A（0，1），B（0，﹣1），

则P（0，0），满足x2+2y2＝2y，

所以点P的轨迹方程x2+2y2＝2y．