Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax，其中a为实数．

（1）求出f（x）的单调区间；

（2）在a＜1时，是否存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）,恒有f（x）+a＞0，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）在a＜1时，存在m＞1，使得对任意x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。理由见解析。

【解析】

（1）对函数求导，并分a≤0和a＞0两种情况讨论。可求出结果；（2）结合（1）将a＜1分为a≤0和两种情况进行讨论即可。

（1）∵f（x）=lnx﹣ax，

∴ ，

当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，

函数f(x)在定义域（0，+∞）递增；无减区间

当a＞0时，令f'（x）=0，则x= ，

当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数为增函数，

当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，函数为减函数。

（2）在a＜1时，存在m＞1，使得对任意的x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。

理由如下：

由（1）得

当a≤0时，函数f(x)在（1，m）递增，

，

，

即f（x）+a＞0。

综上可得：在a＜1时，存在m＞1，使得对任意x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。