Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．
请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）
给出下列4个函数：
①f（x）=g^x；②f（x）=x³，③f(x)=cos

π

2

x④f（x）=lnx+1
其中存在“稳定区间”的函数有

 

．（填上正确的序号）

Answer 1

分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=g^x存在“稳定区间”
则当0＜g＜1时，g^a=b，g^b=a，
则f（x）=g^x与其反函数f^-1（x）=log_gx，
有（a，b）与（b，a）两个交点，
这与指数函数与同底的对数函数图象无交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=g^x不存在“稳定区间”
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=x³的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f(x)=cos

π

2

x的“稳定区间”；
④中，若f（x）=lnx+1存在“稳定区间”
则lna+1=a，lnb+1=b
即lnx=x-1有两个解，即函数y=lnx与函数y=x-1的图象有两个交点，
这与函数y=lnx与函数y=x-1的图象有且只有一个交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=lnx+1不存在“稳定区间”
故答案：②③

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．