Question

如图表示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则 m的象就是n，记作f（m）=n．
（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

；
（2）下列说法中正确的是命题序号是

③④

．（填出所有正确命题的序号）
①f(

1

4

)=1；②f（x）是奇函数；③f（x）在定义域上单调递增；④f（x）的图象关于点(

1

2

，0)对称．

Answer 1

分析：（1）f（x）=0时，对应的点N（0，0）在点A的正下方，故可得结论；
（2）借助于图形来看四个选项，先利用f（

1

4

）=-1，判断出①错，在有实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知②错；从图形上可得f（x）在定义域上单调递增，③对；先找到f（

1

2

）=0，再利用图形判断④对，

解答：解：（1）f（x）=0时，对应的点N（0，0）在点A的正下方，所以f（

1

2

）=0，∴x=

1

2

（2）如图，因为M在以（1，1-

1

2π

）为圆心，（1-

1

2π

--为半径的圆上运动，
对于①当m=

1

4

时．M的坐标为（-

1

2π

，1-

1

2π

），直线AM方程y=x+1，所以点N的坐标为（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即①错．
对于②，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，
所以f（x）不存在奇偶性．故②错．
对于③，当实数m越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对．
对于④当实数m=

1

2

时，对应的点在点A的正下方，此时点N（0，0），所以f（

1

2

）=0，
再由图形可知f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称，即④对．
故答案为：

1

2

，③④．

点评：本题考查映射的概念，题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，较抽象，难．