Question

（2008•虹口区二模）（理）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一点，过点A、D、E的平面交棱PC于F，求证：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）先利用直线和平面平行的判定定理得AD∥面PBC，再利用直线和平面平行的性质定理得AD∥EF，最后根据平行线的传递性证出BC∥EF．
（2）连接AC交DB于O证出，AO⊥面PDB，过O作OH垂直PB于H，连接AH得出PB⊥面AOH，所以AH⊥PB，∠AHO 则为二面角A-PB-D的 的平面角．在直角三角形AOH中求解．

解答：解：（1）证明∵AD∥BC，AD?面PBC，BC?面PBC，根据直线和平面平行的判定定理得AD∥面PBC．
又AD?面ADE，面ADE∩面PBC=EF由直线和平面平行的性质定理得AD∥EF∴BC∥EF．
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴面PDB⊥平面ABCD，面PDB∩平面ABCD=DB．
连接AC交DB于O，AO⊥面PDB，过O作OH垂直PB于H，连接AH，PB⊥AOH，AH⊥PB，
∠AHO 则为二面角A-PB-D的 的平面角．
在△PDB中，BO：PB=OH：PD，即

2

2

：

11

=OH：3，∴OH=

3 22

22

，
在直角三角形AOH中，tan∠AHO=

AO

OH

=

2 2

3 22 22

=

11

3

，∠AHO=arctan

11

3

．

点评：本题主要考查空间线线、线面关系、二面角的度量、考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力