Question

已知函数f（x）=2

3

sinωx•cosωx+2cos²ωx-1（ω＞0，x∈R），f（x）是以T=π为周期．
（1）求f（x）的解析式及在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由其周期为π易知ω=1，从而可求x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值与最小值；
（2）依题意，可求得sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，利用两角差的余弦可求得cos2x₀的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinωx•cosωx+2cos²ωx-1
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

），
∵ω＞0，T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
由x∈[0，

π

2

]知，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1；
（2）∵f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
∵x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]
=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

．

点评：本题考查三角恒等变换的应用，着重考查两角和与差的余弦与同角三角函数间的关系，考查运算求解能力，属于中档题．