Question

在等比数列{a_n}中，已知a₁=2，且a₂，a₁+a₃，a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{log₂a_n-a_n}的前n项和为S_n；
（Ⅲ） 设b_n=

1

log2an+1•log2an

，求证：b1+b2+…+bn≥

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a₂+a₄=2（a₁+a₃），从而求出q=2．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由log₂a_n-a_n=n-2ⁿ，利用分组求和法能求出数列{log₂a_n-a_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）由bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和法求出b₁+b₂+…+b_n=1-

1

n+1

，由此能证明b1+b2+…+bn≥

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=2，且a₂，a₁+a₃，a₄成等差数列，
∴a₂+a₄=2（a₁+a₃），∴q（a₁+a₃）=2（a₁+a₃），
∵a1+a3=a1(1+q2)≠0，∴q=2．
∴数列{a_n}的通项公式是an=2n．
（Ⅱ）解：∵log₂a_n-a_n=n-2ⁿ，
∴Sn=(1-2)+(2-22)+…+(n-2n)
=（1+2+3+…+n）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

n(n+1)

2

-

2(1-2n)

1-2

=

n(n+1)

2

+2n+1-2．
（Ⅲ）证明：∵bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴b₁+b₂+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

，
∵{1-

1

n+1

}是增数列，
∴1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

，
∴b1+b2+…+bn≥

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．