Question

已知向量

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），向量

n

=（cosx，-y），x，y∈R．
（1）若

m

∥

n

，且y=1，求tan（x+

π

6

）的值；
（2）若

m

⊥

n

，设y=f（x），求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,数量积判断两个平面向量的垂直关系,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线的坐标表示列式求得tanx=-

3

2

．然后利用两角和的正切公式展开求值；
（2）由向量垂直的坐标表示列式得到函数y=f（x）的解析式，然后利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），
∵

m

∥

n

，且y=1，
∴2cosx+2

3

sinx=-cosx，
即tanx=-

3

2

．
∴tan（x+

π

6

）=

tanx+tan π 6

1-tanx•tan π 6

=

- 3 2 + 3 3

1-(- 3 2 )× 3 3

=-

3

9

；
（2）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，得2cos2x+2

3

sinxcosx-y=0，
即y=f(x)=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
故f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：平行问题及垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），则

a

⊥

b

?a₁a₂+b₁b₂=0，

a

∥

b

?a₁b₂-a₂b₁=0．是基础题．