Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

3

）cosx．
（1）求f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=

3

2

，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）由f（A）=

3

2

以及第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，根据正弦定理求出sinB的值，进而确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵f（x）=（sinx+

3

cosx）cosx
=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴函数f（x）的值域是[

3 -2

2

，

3 +2

2

]；
（2）由f（A）=sin（2A+

π

3

）+

3

2

=

3

2

，得sin（2A+

π

3

）=0，
又A为锐角，∴A=

π

3

，
又b=2，c=3，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4+9-2×2×3×

1

2

=7，即a=

7

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

bsinA

a

=

2× 3 2

7

=

3

7

，
又b＜a，∴B＜A，
∴cosB=

1-sin2B

=

2

7

，
则cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

×

2

7

+

3

2

×

3

7

=

5 7

14

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．