Question

已知函数f（x）=

3

cos（

π

2

-2x）+2cos²x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面积为

3

的△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若asinB=

3

bcosA，b=f（-

π

3

），求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦定理化简asinB=

3

bcosA，根据sinB不为0求出tanA的值，确定出A的度数，根据b=f（-

π

3

），确定出b，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将b，sinA，以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+3，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
则f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）利用正弦定理化简asinB=

3

bcosA，得：sinAsinB=

3

sinBcosA，
∵sinB≠0，∴sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
∴A=

π

3

，
∵b=f（-

π

3

）=2sin（-

2π

3

+

π

6

）+3=-2+3=1，△ABC面积为

3

，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

c=

3

，即c=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
则a=

13

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．