Question

设函数f（x）=

m

•

n

，其中向量

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；   
（2）△ABC中，f（A）=2，a=

3

，b+c=3（b＞c）求b，c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性可得A，再利用余弦定理和已知即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

=2cos2x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴T=

2π

2

=π．
即f（x）的最小正周期为π．
（2）∵f（A）=2，∴2sin(2A+

π

6

)+1=2，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴(2A+

π

6

)∈(

π

6

，

13π

6

)．
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

，
∴3=b2+c2-2bccos

π

3

，化为b²+c²-bc=3．
联立

b+c=3 b2+c2-bc=3

，又b＞c，
解得

b=2 c=1

．
∴b=2，c=1．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式及其周期公式、正弦函数的单调性、余弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．