Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x²+y²=1上，求原点O到直线MN距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得A（-a，0），B（0，b），F（1，0），由

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，推导出b²-a-1=0，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）分类讨论，设点作差，求出MN的方程，可得原点O到直线MN距离，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，A（-a，0），B（0，b），F（1，0），
∵

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，
∴b²-a-1=0，
∵b²=a²-1，∴a²-a-2=0，解得a=2，
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），H（x₀，y₀），则

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
作差得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0
①x₁=x₂时，y₁+y₂=0，∴H（x₀，0），
∵H在圆x²+y²=1上，
∴x₀=±1，则原点O到直线MN距离为1；
②x₁≠x₂时，设直线MN的斜率为k，则

2x0

4

+

2ky0

3

=0，
∴3x₀+4ky₀=0，且x₀²+y₀²=1，
∴x₀²=

16k2

16k2+9

，y₀²=

9

16k2+9

，
∴x₀y₀=-

4

3

ky₀²=

-12k

16k2+9

设原点O到直线MN距离为d，则
∵MN的方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+y₀=0，
∴d²=

(y0-kx0)2

k2+1

=1-

k2

16k4+25k2+9

，
k=0时，d²=1；
k≠0时，d²=1-

1

16k2+ 9 k2 +25

≥1-

1

49

=

48

49

∵

48

49

＜1，
∴d²的最小值为

48

49

，即d的最小值为

4 3

7

，此时k=±

3

2

，
由①②可知，原点O到直线MN距离的最小值

4 3

7

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．