练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知圆M：x2+（y-2）2=1，直线l：y=-1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E．
    （Ⅰ）求E的方程；
    （Ⅱ）定点A（4，2），B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点．
    考点：圆的切线方程
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（Ⅰ）根据动圆P与直线y=-1相切，且与定圆M：x2+（y-2）2=1外切，可得动动点P到M（0，2）的距离与到直线y=-2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程；
    （Ⅱ）设直线AB：y=kx+b，将直线AB代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0，利用韦达定理，结合
    AB
    •
    AC
    =0，即可证明直线AB恒过定点．
    解答： （Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y=-1相切，且与定圆M：x2+（y-2）2=1外切，
    所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y=-2的距离相等，
    由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，
    故所求P的轨迹方程为：x2=8y．           …（4分）
    （Ⅱ）证明：设直线BC：y=kx+b，B（x1，y1），C（x2，y2），
    将直线BC代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0，
    所以x1+x2=8k，x1x2=-8b，…（6分）
    又因为
    AB
    =（x1-4，y1-2），
    AC
    =（x2-4，y2-2），
    所以
    AB
    •
    AC
    =（x1-4，y1-2）•（x2-4，y2-2）=（k2+1）x1x2+[k（b-2）-4]（x1+x2）+（b-2）2+16=0
    所以-8b（k2+1）x+8k[k（b-2）-4]+（b-2）2+16=0
    所以（b-6）2-16（k+1）2=0…（8分）
    所以b=4k+10或b=-4k+2           …（10分）
    所以恒过定点（-4，10）．                         …（12分）
    点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查转化思想与计算能力，熟记抛物线的定义是求解本题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    己知函数f（x）=lnx+
    1
    lnx
    ，则下列结论中正确的是（　　）
    A、若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是增函数
    B、若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是减函数
    C、?x＞0，且x≠1，f（x）≥2
    D、?x0＞0，f（x）在（x0，+∞）上是增函数

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的长轴长是2
    		2
    ，且过点（1，
    		2
    2
    ）．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，F为椭圆的右焦点，直线MF与NF关于x轴对称．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3
    		2
    ．
    （Ⅰ）求函数f（x）=cos2A+cos2x（x∈R）的单调递增区间及最大值；
    （Ⅱ）求△ABC的面积的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：
    阅读过莫言的
    作品数（篇）    		 0～25 26～50 51～75 76～100 101～130
    男生 3 6 11 18 12
    女生 4 8 13 15 10
    （Ⅰ）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；
    （Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？
      非常了解 一般了解 合计
    男生      
    女生      
    合计      
    附：K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

    P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
    k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且
    OF
    •
    FB
    =
    AB
    •
    BF
    ，如图所示．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2+y2=1上，求原点O到直线MN距离的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+
    1
    2
    an=1（n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）设bn=log3（1-Sn+1）（n∈N*），求
    1
    b1b2
    +
    1
    b2b3
    +…+
    1
    b100b101
    的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}中，a1=3，an-an-1=（2-n）•2n-1（n≥2，n∈N*）．
    （1）设cn=an-2n，求cn；
    （2）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{nan}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    抛物线C：y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P斜率k为正的直线交C于两点A、B，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案