Question

己知函数f（x）=lnx+

1

lnx

，则下列结论中正确的是（　　）

• A、若x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x₁，x₂）内是增函数
• B、若x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x₁，x₂）内是减函数
• C、?x＞0，且x≠1，f（x）≥2
• D、?x₀＞0，f（x）在（x₀，+∞）上是增函数

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：探究型,简易逻辑

分析：求导数，可得（

1

e

，e）上函数单调递减，（0，

1

e

），（e，+∞）上函数单调递增，即可判断．

解答： 解：∵f（x）=lnx+

1

lnx

（x＞0且x≠1），
∴f′（x）=

1

x

-

1

x(lnx)2

=0，∴x=e，或x=

1

e

当x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＞0，；当x∈（

1

e

，1），x∈（1，e）时，f′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
故x=

1

e

和x=e分别是函数f（x）的极大值点和极小值点，而函数f（x）在（

1

e

，e）上单调递减，故A、B错误；
当0＜x＜1时，lnx＜0，f（x）＜0，不满足不等式，故C错误；
只要x₀≥e，f（x）在（x₀，+∞）上时增函数，故D正确．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键．