Question

设向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），其中0＜β＜α＜π．
（1）若

a

⊥

b

，求| 

a

+

3

b

 |的值；
（2）设向量

c

=(0，

3

)，且

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积的运算性质即可得出；
（2）利用向量相等和诱导公式、三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=1，|

b

|=1． 
∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0．
于是|

a

+

3

b

|=

a 2+3 b 2+2 3 a • b

=

12+3×12

=2．
故| 

a

+

3

b

 |=2．
（2）∵

a

+

b

=(cosα+cosβ ， sinα+sinβ)=(0 ，  

3

)，
∴

cosα+cosβ=0  sinα+sinβ= 3

，
由此得cosα=cos（π-β），
由0＜β＜π，得0＜π-β＜π，
又0＜α＜π，故α=π-β． 
代入sinα+sinβ=

3

，得sinα=sinβ=

3

2

．
而0＜β＜α＜π，∴α=

2π

3

，  β=

π

3

．

点评：本题考查了数量积的运算性质、向量相等和诱导公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．