Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S_△ABC=3．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A，C），且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先求出B的坐标，代入椭圆方程，求出b，即可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线BP：y-

3

2

=k(x-1)代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，求出P的坐标，用-k代入得xQ=

4k2+12k-3

3+4k2

，yQ=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

，利用斜率公式，即可求证直线PQ的斜率为定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AB|，   ∴S△OAB=

1

2

S△ABC=

3

2

…2 分
又△OAB是等腰三角形，所以B(1， 

3

2

)…3 分
把B点带入椭圆方程

x2

4

+

y2

b2

=1，求得b²=3．…4 分
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…5 分
（Ⅱ）由题易得直线BP、BQ斜率均存在，
又∠PBC=∠QBA，所以k_BP=-k_BQ…7 分
设直线BP：y-

3

2

=k(x-1)代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，
化简得(3+4k2)x2-8k(k-

3

2

)x+4k2-12k-3=0…9 分
其一解为1，另一解为xP=

4k2-12k-3

3+4k2

…10 分
可求yp=

-12k2-6k

3+4k2

+

3

2

…11 分
用-k代入得xQ=

4k2+12k-3

3+4k2

，yQ=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

…12 分
∴kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

1

2

为定值．…13 分

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，正确求出P，Q的坐标是关键．