Question

如图，已知点A（1，

2

）是离心率为

2

2

的椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为

2

的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据点A（1，

2

）是离心率为

2

2

的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线BD的方程为y=

2

x+m，代入椭圆方程，设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，则k_AD+k_AB=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

，由此能导出即k_AD+k_AB=0．

解答： 解：（1）由题意，可得e=

c

a

=

2

2

，
代入A（1，

2

）得

2

a2

+

1

b2

=1，
又a²=b²+c²，…（2分）
解得a=2，b=c=

2

，
所以椭圆C的方程

y2

4

+

x2

2

=1．…（5分）
（2）证明：设直线BD的方程为y=

2

x+m，
又A、B、D三点不重合，∴m≠0，
设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

y= 2 x+m 2x2+y2=4

得4x²+2

2

mx+m²-4=0
所以△=-8m²+64＞0，
所以-2

2

＜m＜2

2

．
x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=-

m2-4

4

…（8分）
设直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，
则k_AD+k_AB=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

=2

2

+m•

x1+x2-2

x1x2-x1-x2+1

=2

2

+m•

- 2 2 m-2

m2-4 4 + 2 2 m+1

=2

2

-2

2

=0 （*）     
所以k_AD+k_AB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．…（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．