Question

如图，设P是圆O：x²+y²=2上的点，过P作直线l垂直x轴于点Q，M为l上一点，且

PQ

=

2

MQ

，当点P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上，使其一条直角边过点F（1，0），则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由．
（Ⅲ）设直线m是圆O所在平面内的一条直线，过点F（1，0）作直线m的垂线，垂足为T连接OT根据“线段OT长度”讨论“直线m与曲线Γ的公共点个数”．（直接写出结论，不必证明）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出动点M的坐标及P的坐标，结合

PQ

=

2

MQ

把P的坐标用M的坐标表示，然后把P的坐标代入圆O可得曲线Γ的方程；
（Ⅱ）把现实问题转化为数学问题，分直角三角板的顶点在x轴上，与F点的连线垂直于x轴以及NF的斜率存在且不等于0几种情况讨论，斜率存在时设出直线方程，和曲线Γ联立由判别式等于0说明结论正确；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中同学研究的结论可知，当|0T|=

2

时，直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；由此推广得到，当|OT|＞

2

时，直线m与椭圆Γ没有公共点；当|OT|＜

2

时，直线m与椭圆Γ有两个公共点．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x_P，y_P），
∵PQ垂直x轴于点Q，M为直线l上一点，且

PQ

=

2

MQ

，
∴x_P=x，yP=

2

y，
∵点P在圆O：x²+y²=2上，
∴xP2+yP2=2，
即x2+(

2

y)2=2，整理得

x2

2

+y2=1．
故曲线Γ的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）如图，

设三角板的直角顶点放置在圆O的圆周上的点N（a，b）处，则a²+b²=2，
又设三角板的另一条直角边所在直线为l′．
（ⅰ）当a=1时，直线NF⊥x轴，l′：y=±1，
显然l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
（ⅱ）当a≠1时，则kNF=

b

a-1

．
若b=0时，则直线l′：x=±

2

，显然l′与曲线有且只有一个公共点；
若b≠0时，则直线l′的斜率k=

1-a

b

，
∴l′：y-b=

1-a

b

(x-a)，即y=

1-a

b

x+

2-a

b

，
由

x2 2 +y2=1 y= 1-a b x+ 2-a b

，得[b²+2（1-a）²]x²+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a）²-b²]=0 （*）
又b²=2-a²，
∴方程（*）可化为（a-2）²x²+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）²=0，
∴△=[4（1-a）（2-a）]²-16（a-2）²（a-1）²=0，
∴直线l′与曲线Γ有且只有一个公共点．
综上述，该同学的结论正确．
（Ⅲ）当|OT|＞

2

时，直线m与椭圆Γ没有公共点；
当|0T|=

2

时，直线m与椭圆Γ有且只有一个公共点；
当|OT|＜

2

时，直线m与椭圆Γ有两个公共点．

点评：本题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是压轴题．