Question

以抛物线y²=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B₂，右顶点为A₂，左、右焦点为F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，过点D（0，2）的直线l，斜率为k（k＞0），l与椭圆交于M，N两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N的中点为H，且

OH

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m的范围；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线y²=4x的焦点，求出椭圆的焦点，利用|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，求出b，从而可求a，即可求椭圆的标准方程；
（2）设l：y=kx+2（k＞0），代入椭圆方程，求出H的坐标，利用

OH

∥

A2B2

，即可求出斜率k的值；
（3）设在x轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，则HQ⊥MN，可得m=-

2k

4k2+3

，利用基本不等式，即可求出m的范围．

解答： 解：（1）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），∴椭圆中c=1，
∵|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，
∴b=

3

c=

3

，
∴a=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线代入椭圆方程得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∴△=12k²-3＞0，
∵k＞0，∴k＞

1

2

，
且x₁+x₂=

-16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∴MN的中点H（

-8k

4k2+3

，

6

4k2+3

），
∵

OH

∥

A2B2

，
∴

6 4k2+3

-8k 4k2+3

=

3 -0

0-2

，
∴k=

3

2

＞

1

2

，
∴k=

3

2

；
（3）设在x轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，则HQ⊥MN，
∴

6 4k2+3 -0

-8k 4k2+3 -m

•k=-1，
∴m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

≥-

2

2 4k• 3 k

=-

3

6

，
当且仅当4k=

3

k

，即k=

3

2

时取等号，
又m=-

2k

4k2+3

＜0，
∴在x轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，m范围是[-

3

6

，0）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．