Question

如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，…），底边B_nC_n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B₁的坐标为（0，b）．
（Ⅰ）若b=1，a₁=2，a₂=4，求点A₁，A₂的坐标；
（Ⅱ）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一直线上，求证：数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

考点：数列的应用,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用有一组底边长为a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，…），底边B_nC_n依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B₁的坐标为（0，1），a₁=2，a₂=4，即可得出结论；
（Ⅱ）先分析A_n 点的坐标，借助于A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一条直线上，得到斜率相等，从而得出a_n²=a_n-1a_n+1，故可证数列 {a_n}是等比数列．

解答： （Ⅰ）解：∵b=1，a₁=2，a₂=4，
∴A₁（1，2），A₂（2，5）；
（Ⅱ）证明：有题意，A_n 点的坐标为A_n（

an

2

，b+a₁+a₂+…+a_n-1+

an

2

），
∵A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一直线上，
∴kAnAn-1=kAnAn+1，
∴

an+1 2 + an 2

an+1 2 - an 2

=

an 2 + an-1 2

an 2 - an-1 2

，
∴a_n²=a_n-1a_n+1，
∴数列 {a_n}是等比数列．

点评：本题考查数列的运用，考查等比数列的证明，求解的关键是题意得挖掘，利用点共线，转化为斜率相等．