Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是2

2

，且过点（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，F为椭圆的右焦点，直线MF与NF关于x轴对称．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是2

2

，且过点（1，

2

2

），求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆C，利用韦达定理，结合k_MA+k_NA=0，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意可得

2a=2 2 1 a2 + 1 2b2 =1

，解得a=

2

，b=1． 
故椭圆C的方程为

x2

2

+y²=1． …5分
（Ⅱ）证明：椭圆的右焦点F（1，0），
由

y=kx+m x2+2y2=2

  消y，并整理得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则有△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

因为直线MA与NA 关于 x轴对称，所以这两条直线的斜率互为相反数，
则有k_MA+k_NA=0，即

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，
则有2kx₁x₂+（m-k）（x₁₊x₂）-2m=0，…11分
所以2k•

2m2-2

2k2+1

-（m-k）•

4km

2k2+1

-2m=0，
整理得m=-2k，…13分
此时k满足-

2

2

＜k＜

2

2

且k≠0，直线l的方程是y=k（x-2），
故直线l过定点，且该定点为（2，0）． …14分

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的计算能力，是高考试卷中的压轴题．