Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）=cos²A+cos²x（x∈R）的单调递增区间及最大值；
（Ⅱ）求△ABC的面积的大小．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）将A的度数代入函数f（x）=cos²A+cos²x中，利用二倍角的余弦函数公式化简，根据余弦函数的单调递增区间，即可确定出f（x）的单调递增区间，利用余弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形后，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos²60°+cos²x=

1

4

+

1+cos2x

2

=

3

4

+

1

2

cos2x，
令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π（k∈Z），解得：kπ+

1

2

π≤x≤kπ+π（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+

1

2

π，kπ+π]（k∈Z），当且仅当x=kπ+π（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，其最大值是

5

4

；
（Ⅱ）∵a=3，A=60°，b+c=3

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即9=18-3bc，
∴bc=3，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及余弦函数的单调性及值域，熟练掌握定理是解本题的关键．