Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，直线l：y=-1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且

OA

•

OB

=-16，求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）根据动圆P与直线y=-1相切，且与定圆M：x²+（y-2）²=1外切，可得动动点P到M（0，2）的距离与到直线y=-2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+b，将直线AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，利用韦达定理，结合

OA

•

OB

=-16，求出b，即可证明直线AB恒过定点．

解答： （Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y=-1相切，且与定圆M：x²+（y-2）²=1外切
所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y=-2的距离相等
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y=-2为准线的抛物线
故所求P的轨迹方程为：x²=8y．   …（4分）
（Ⅱ）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，
所以x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8b…（6分）
又因为

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

x12x22

64

=-8b+b²=-16，
∴b=4，…（10分）
∴恒过定点（0，4）．             …（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查转化思想与计算能力，熟记抛物线的定义是求解本题的关键．