Question

设m≥2，点P（x，y）为

y≥x y≤mx x+y≤1

所表示的平面区域内任意一点，M（0，-5），O坐标原点，f（m）为

OP

•

OM

的最小值，则f（m）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积的定义计算z=f（m）的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵M（0，-5），
∴

OP

•

OM

=-5y，
设z=

OP

•

OM

=-5y，
作出不等式组对应的平面区域如图：
即当y取得最大值时，z取得最小值，
则由

x+y=1 y=mx

，解得

x= 1 1+m y= m 1+m

，
∴f（m）=-5×

m

1+m

=-5+

5

1+m

，
∵m≥2，
∴当m=2时，f（m）取得最大值f（2）=-

10

3

，
故答案为：-

10

3

点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．