Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2sin²ωx+（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=，求sin（π-4a）的值．

Answer 1

解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2sin²ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为，
∴函数的最小正周期为π
∴=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）
∴-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z
∴-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=
∴sin（π-4a）=sin[-2（2a+）]=-cos[2（2a+）]=2sin²（2a+）-1=-．
分析：（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π-4a）=sin[-2（2a+）]=-cos[2（2a+）]=2sin²（2a+）-1，即可求得结论．
点评：本题考查函数的周期性，考查函数解析式的确定，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，周期确定函数解析式是关键．