【题目】已知集合.若
为集合
中构成等差数列的
个元素,求
的最大值.
【答案】6
【解析】
(1)显然,、
、
、
、
、
这六个数在集合
中,且构成等差数列.
(2)用反证法证明:集合中任意七个不同的数均不能构成等差数列.
设为集合
中构成等差数列的7个不同的元素,其公差为
.
由集合中元素的特性,知集合
中任意一个元素均不是7的倍数.
于是,由抽屉原理,知这七个数中存在两个数,它们被7除的余数相同,其差能被7整除.
不妨设能被7整除.则
.
记,设
,
其中,、
、
为不超过6的正整数.
则 ,其中,
.
由,
,
知 ,即公差
只能为
.
因为,且
,所以,
除以7后的余数各不相同,分别为1,2,…,6中的一个.
因此,存在,使得
能被7整除.
设 .则
.
于是,的七进制表示中,7的系数(即从左到右第2位)为0,与
矛盾.
从而,集合 中任意七个不同的数均不能构成等差数列.
因此,的最大值为6.
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【题目】已知函数,其图象与
轴相邻的两个交点的距离为
.
(1)求函数的解析式;
(2)若将的图象向左平移
个长度单位得到函数
的图象恰好经过点
,求当
取得最小值时,
在
上的单调区间.
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【题目】已知圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程(用直线方程的一般式表示).
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【题目】已知以点为圆心的圆过点
和
,线段
的垂直平分线交圆
于点
,且
.
(1)求直线的方程;
(2)求圆的方程;
(3)是否存在点在圆
上,使得
的面积为
?若存在,请指出共有几个这样的点?说明理由,并求出这些点的坐标.
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【题目】下列命题中,正确的命题的是( )
A.已知随机变量服从二项分布,若
,
,则
;
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;
C.设随机变量服从正态分布
,若
,则
;
D.某人在10次射击中,击中目标的次数为,
,则当
时概率最大.
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【题目】从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,
每次取出后不放回,连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?
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【题目】如图1,已知菱形的对角线
交于点
,点
为线段
的中点,
,
,将三角形
沿线段
折起到
的位置,
,如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
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【题目】如图,四棱锥的底面
是直角梯形,
,
,
,点
在线段
上,且
,
,
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)当四棱锥的体积最大时,求平面
与平面
所成二面角的余弦值.
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