Question

11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a_n}是等和数列，且a₁=2，公和为5，试求：
（1）a₁₈的值；
（2）该数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₂=5=a₂+a₃=…，可得a₁=a₃=…，a₂=3=a₄=…=a₁₈．即可得出．
（2）当n=2k（k∈N^*）时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k）=5k．当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=S_2k-a_2k，即可得出．

解答 解：（1）∵a₁+a₂=5=a₂+a₃=…，可得a₁=a₃=…，a₂=3=a₄=…=a₁₈．
∴a₁₈=3．
（2）当n=2k（k∈N^*）时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-1+a_2k）=5k=$\frac{5n}{2}$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，S_n=S_2k-a_2k=$\frac{5（n+1）}{2}$-3=$\frac{5n-1}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5n}{2}，n为偶数}\\{\frac{5n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了新定义“等和数列”通项公式及其前n项和公式、分组求和，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．