Question

（2010•北京模拟）在△ABC中，已知∠A=

π

3

，边BC=2

3

，设∠B=x，△ABC的周长为y．
（Ⅰ）若x=

π

4

，求边AC的长；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的解析式，并写出它的定义域；
（Ⅲ）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理可以直接得出结果．
（II）由内角A=

π

3

，边BC=2

3

，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．
（III）要求三角函数的值域，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的进行求解．

解答：解：（I）A=

π

3

，B=

π

4

，BC=2

3

，由正弦定理，得：

AC

sin π 4

=

BC

sin π 3

，
∴AC=

BC•sin π 4

sin π 3

=

2 3 × 2 2

3 2

=2

2

（3分）
（II）△ABC的内角和A+B+C=π，且A=

π

3

，B=x，C＞0，∴C=

2π

3

-x＞0，0＜x＜

2π

3

．（4分）
由正弦定理，知

2 3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，即

b=4sinx c=4sin( 2π 3 -x)

所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)..（6分）（没写定义域或写错扣1分）
（III）由（II）知，y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)
=6sinx+2

3

cosx+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)   （8分）
由正弦函数的图象知，当

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

时，有

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
于是，4

3

＜4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

≤6

3

，
所以，函数y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)的值域是(4

3

，6

3

]  （10分）

点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，值域由A确定，周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为-|A|，周期T=

2π

ω

进行求解．