Question

10．在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．

解答 解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，
∴圆C与圆D相切，
∴|CD|=1或CD=3，
∵|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，∴解得a=0或a=$\frac{12}{5}$．
∴圆心C的非零横坐标是$\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．