Question

14．求下列各函数值域及单调递增区间：
（1）y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$；（2）y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意，令t=3^2x-1-$\frac{1}{9}$，且t≥0，则y=$\sqrt{t}$，由复合函数的单调性分析可得其单调性，进而结合t的范围，分析可得函数的值域；
（2）根据题意，分析可得y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$，令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，则t≥-2，有y=（$\frac{1}{2}$）^t，由二次函数以及指数函数的单调性分析可得y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$的单调性，结合指数函数的性质分析可得其值域．

解答 解：（1）y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$；
令t=3^2x-1-$\frac{1}{9}$，且t≥0，则y=$\sqrt{t}$，
若3^2x-1-$\frac{1}{9}$≥0，解可得x＞-$\frac{1}{2}$，即其定义域为（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
分析可得t=3^2x-1-$\frac{1}{9}$为增函数，y=$\sqrt{t}$也为增函数，
故y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$为增函数，其递增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
又由t≥0，则y=$\sqrt{{3}^{2x-1}-\frac{1}{9}}$≥0，其值域为[0，+∞）；
（2）y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$，
令t=x²-2x-1=（x-1）²-2，则t≥-2，有y=（$\frac{1}{2}$）^t，
分析可得当x∈（-∞，1）时，t=x²-2x-1为减函数，而y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，故y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$为增函数，
当x∈（1，+∞）时，t=x²-2x-1为增函数，而y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，故y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$为减函数，
又由t≥-2，则y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$≤（$\frac{1}{2}$）^-2=4，
又由y=0.5${\;}^{{x}^{2}-2x-1}$＞0，则其值域为（0，4]．
其递增区间为（-∞，1）．

点评 本题考查复合函数的单调性以及函数的值域，关键是掌握复合函数的单调性的判定方法．