Question

已知点P（x，y）为椭圆上一点，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF₁F₂面积的最大值为；②若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF₁Q的周长为8；③若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有；对定点，则的取值范围为．其中正确结论的番号是________．

Answer 1

②③④
分析：①△PF₁F₂面积S=|F₁F₂|•|y|，所以当|y|取最大值时，△PF₁F₂面积最大，此时点P为椭圆短轴端点；
②利用椭圆的第一定义，即可求得；
③分斜率存在与不存在讨论，假设直线方程代入椭圆方程，借助于韦达定理与椭圆的第二定义，化简即可；
④根据定点在椭圆的内部，点P（x，y）为椭圆上一点，可得=，从而当且仅当P、A、F₁三点共线时，取得最小与最大，取得最小与最大．
解答：①△PF₁F₂面积S=|F₁F₂|•|y|=|y|，所以当|y|取最大值时，△PF₁F₂面积最大，所以点P为椭圆短轴端点时，|y|取最大值，此时y=±1，即△PF₁F₂面积的最大值S=，故①错误；
②∵P，Q在椭圆上，F₁、F₂为椭圆左、右焦点
∴△PF₁Q的周长为2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF₁Q的周长为8，
故②正确；
③斜率存在时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程为：y=k（x）
代入椭圆方程得：
∴，
根据椭圆的第二定义可得：，
∴|PF₂|=a-ex₁，|QF₂|=a-ex₂
∴
==
∵，，
∴
当斜率不存在时，，∴，故③正确；
④∵定点在椭圆的内部，点P（x，y）为椭圆上一点，
∴=
当且仅当P、A、F₁三点共线时，取得最小与最大，取得最小与最大．
∵
∴
∴的取值范围为，故④正确
故答案为：②③④
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的性质，考查椭圆的两个定义，解题思维有点困难，计算要细心．