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如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P、Q分别在边BC、CD上),设∠PAB=θ,tanθ=t,探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S(平方百米).
(1)将S表示成t的函数;
(2)求S的最大值.
分析:(1)利用已知条件,结合直角三角形,直接用t表示出DQ的长度,然后利用S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ,推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S.
(2)利用(1)推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S,利用基本不等式求出面积的最小值(平方百米).
解答:解:(1)由题意知BP=t,0≤t≤1,…(2分)
∠DAQ=45°-θ,
DQ=tan(450-θ)=
1-t
1+t
…(4分)
S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ
=1-
1
2
t-
1
2
1-t
1+t
   =2-
1
2
(t+1+
2
t+1
)

其中t∈[0,1]…(8分)
(2)  S=2-
1
2
(t+1+
2
t+1
),t∈[0,1]
≤2-
2
当且仅当t=
2
-1时取等号.
…(12分)
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大值为2-
2
(平方百米) …(14分)
点评:本题考查三角形的实际应用,函数值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.
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(1)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值.
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)?

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