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如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设∠PAB=θ,tanθ=t.
(1)用t表示出PQ的长度,并探求△CPQ的周长l是否为定值.
(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)?

【答案】分析:(1)利用已知条件,结合直角三角形,直接用t表示出PQ的长度,然后推出△CPQ的周长l为定值.
(2)利用S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ,推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S,利用基本不等式求出面积的最小值(平方百米).
解答:解:(1)BP=t,0≤t≤1,
∠DAQ=45°-θ,DQ=tan(45°-θ)=
CQ=1-=
∴PQ===
∴l=CP+CQ+PQ
=1-t++
=1-t+1+t=2.
(2)S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ
=1--=2-
≤2
当t=时取等号.
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为2(平方百米).
点评:本题考查三角形的实际应用,函数值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.
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(1)将S表示成t的函数;
(2)求S的最大值.

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