Question

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．
（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ的周长l为定值．
（2）利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）．
解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，
∠DAQ=45°-θ，DQ=tan（45°-θ）=，
CQ=1-=，
∴PQ===．
∴l=CP+CQ+PQ
=1-t++
=1-t+1+t=2．
（2）S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ
=1--=2-
≤2．
当t=时取等号．
探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为2（平方百米）．
点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．