Question

关于函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；（3）f（x）在区间（-1，0）和（1，+∞）上均为增函数；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正确的结论序号是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）（4）
• C、（1）（3）（4）
• D、（2）（3）（4）

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义，我们可以判断出函数的奇偶性，进而判断（1）的真假；结合复合函数的单调性及“对勾”函数的单调性，我们可以判断出函数的单调性，并求出函数的最小值，进而判断出（2），（3），（4）的真假，进而得到答案．

解答：解：由已知中函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，可得
函数为偶函数，则（1）其图象关于y轴对称正确；
区间（-∞，-1），（0，1）是函数的单调减区间，（-1，0），（1，+∞）是函数的单调增区间，故（2）错误，（3）正确；
当x=±1时，函数取最小值lg2，故（4）是正确；
故选C

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数奇偶性和单调性的综合应用，复合函数的单调性，及“对勾函数”的单调性，是多个函数难点的综合应用，难度比较大．