精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数.
(1)若存在,使得,求a的取值范围;
(2)若有两个不同的实数解,证明:.
(1)(1,+∞);(2)证明过程详见解析.

试题分析:本题考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“单调递增,单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可;第二问,将方程的2个根分别代入到方程中,得到2个式子,2个式子作差,得到方程将a分离出来,对求导,将代入,将上述的a也代入,得到所求式子的左边,只需证明即可,通过变形,只需证明即可,构造新函数,所以利用导数求函数的最小值,判断,即.
试题解析:(1)当x∈(0,+∞)时,f(x)<0等价于
,则
x∈(0,1)时,g¢(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g¢(x)>0.
g(x)有最小值g(1)=1.           4分
a的取值范围是(1,+∞).          5分
(2)因f(x)=x,即x2-lnx=(a+1)x有两个不同的实数解uv
u2-lnu=(a+1)uv2-lnv=(a+1)v
于是(uv)(uv)-(lnu-lnv)=(a+1)(uv).      7分
uv<0解得
,所以
.  9分
,则当u∈(0,v)时,
h(u)在(0,v)单调递增,h(u)<h(v)=0,
从而,因此.       12分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设函数的定义域是,其中常数.(注:
(1)若,求的过原点的切线方程.
(2)证明当时,对,恒有.
(3)当时,求最大实数,使不等式恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数).
(1)试讨论函数的单调性;
(2)设函数,当函数有零点时,求实数的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数上是减函数,在上是增函数,函数上有三个零点,且是其中一个零点.
(1)求的值;
(2)求的取值范围;
(3)设,且的解集为,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数,当时,.
(1)若函数在区间上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(3)试证明:.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如果f(x)为偶函数,且f(x)导数存在,则f′(0)的值为(  )
A.2B.1C.0D.﹣1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是(  )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知 设函数F(x)= f(x+4),且F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b) 内,,则x2+y2=b-a的面积的最小值为(    )
A. B.2 C.3 D.4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数处有极值,则的值为(   ).
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案