试题分析:本题考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“
单调递增,
单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可;第二问,将方程的2个根分别代入到方程中,得到2个式子,2个式子作差,得到方程将a分离出来,对
求导,将
代入,将上述的a也代入,得到所求式子的左边,只需证明
即可,通过变形,只需证明
即可,构造新函数
,所以利用导数求函数的最小值,判断
,即
.
试题解析:(1)当
x∈(0,+∞)时,
f(
x)<0等价于
.
令
,则
,
当
x∈(0,1)时,
g¢(
x)<0;当
x∈(1,+∞)时,
g¢(
x)>0.
g(
x)有最小值
g(1)=1. 4分
故
a的取值范围是(1,+∞). 5分
(2)因
f(
x)=
x,即
x2-ln
x=(
a+1)
x有两个不同的实数解
u,
v.
故
u2-ln
u=(
a+1)
u,
v2-ln
v=(
a+1)
v.
于是(
u+
v)(
u-
v)-(ln
u-ln
v)=(
a+1)(
u-
v). 7分
由
u-
v<0解得
.
又
,所以
. 9分
设
,则当
u∈(0,
v)时,
,
h(
u)在(0,
v)单调递增,
h(
u)<
h(
v)=0,
从而
,因此
. 12分