Question

已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且是其中一个零点．
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）设，且的解集为，求实数的取值范围．

Answer 1

（1），（2），（3）

试题分析：（1）函数在处单调性发生变化，所以，由得.（2）因为，所以，因此因为函数在上有三个零点，所以必有两个不等的根，．又在上是增函数，所以大根不小于1，即，，故的取值范围为．（3）已知不等式解集求参数取值范围，有两个解题思路，一是解不等式，根据解集包含关系对应参数取值范围.二是转化，将不等式在区间有解理解为恒成立问题，利用函数最值解决参数取值范围.本题由于已知是其中一个零点，所以两个方法都简便.否则应利用变量分离求最值法.
试题解析：（1）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．         1分
∵f（x）在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取到极小值，即．∴．           3分
（2）由（1）知，，
∵是函数的一个零点，即，∴．           5分
∵的两个根分别为，．
又∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，
∴，即．                      7分
∴．
故的取值范围为．                9分
（3）解法1：由（2）知，且．
∵是函数的一个零点，∴，
∵，∴，
∴点是函数和函数的图像的一个交点．           10分
结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．
即方程组①只有一组解：            11分
由，得．
即．
即．
∴或．            12分
由方程②
得．∵，
当，即，解得．           13分
此时方程②无实数解，方程组①只有一个解
所以时，的解集为．           14分
（3）解法2：由（2）知，且．
∵1是函数的一个零点

又的解集为，
∴的解集为．          10分
．
．                            12分
．
．          14分