Question

已知函数.
（1）当且时，证明：；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）将代入函数的解析式，构造新函数，问题转化为证明，只需利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性来证明该不等式；（2）解法一是利用参数分离法将不等式转化为在上恒成立，构造新函数，问题转化为
来处理；解法二是构造新函数，问题转化为来处理，求出导数的根，对与区间的相对位置进行分类讨论，以确定函数的单调性与最值，从而解决题中的问题；解法三是利用参数分离法将问题转化为，从而将问题转化为来处理，而将视为点与点连线的斜率，然后利用图象确定斜率的最小值，从而求解相应问题；（3）利用分析法将问题等价转化为证明不等式，结合（1）中的结论
结合放缩法证明，最后利用累加法证明相关不等式证明.
试题解析：（1）证明：要证，即证，
令，则，
在单调递增，，
，即成立；
（2）解法一：由且可得，
令，，
由（1）知，
，函数在上单调递增，当时，，
；
解法二：令，则，
当时，，函数在上是增函数，有，------6分
当时，函数在上递增，在上递减，
对，恒成立，只需，即；
当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，
而，不合题意，
综上得对，恒成立，；
解法三：由且可得，

由于表示两点、的连线斜率，
由图象可知在单调递减，
故当，，
，即；
（3）当时，，则，
要证，即证，
由（1）可知，又
，，
，

，
故.