Question

20．求函数y=x²-ax+1（a为常数），-1≤x≤1的最大值和最小值．

Answer 1

分析 函数f（x）=x²-ax+1的图象的对称轴方程为x=$\frac{a}{2}$，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，分别利用二次函数的性质求得f（x）在区间[-1，1]上的最值．

解答 解：函数f（x）=x²-ax+1的图象的对称轴方程为x=$\frac{a}{2}$，
①当$\frac{a}{2}$＜-1即a＜-2时，f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
∴最小值为f（-1）=2+a，最大值为f（1）=2-a．
②当-1≤$\frac{a}{2}$≤0即-2≤a≤0时：
f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{a}{2}$，1]递增，
∴最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，最大值为f（1）=2-a．
③当0＜$\frac{a}{2}$＜1即0＜a＜2时：
f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{a}{2}$，1]递增，
∴最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，最大值为f（-1）=2+a．
④当$\frac{a}{2}$≥1即a≥2时，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
∴最大值为f（-1）=2+a，最小值为f（1）=2-a．

点评 本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．