Question

8．在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中．已知a₁=b₁=1．a₂=b₂．a₆=b₃
（1）求等差数列{a_n}的通项公式a_n和等比数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件结合等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比，由此能求出等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的通项公式．
（2）由a_n•b_n=（3n-2）•4^n-1，利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中．a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+5d={q}^{2}}\end{array}\right.$，且d≠0，
解得d=3，q=4，
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2，
b_n=q^n-1=4^n-1．
（2）由（1）得a_n•b_n=（3n-2）•4^n-1，
∴S_n=1•4⁰+4×4+7×4²+…+（3n-2）•4^n-1，①
4S_n=4+4×4²+7×4³+…+（3n-2）•4ⁿ，②
①-②，得：-3S_n=1+3（4+4²+4³+…+4^n-1）-（3n-2）•4ⁿ
=1+3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-2）•4ⁿ
=-3-（3n-3）•4ⁿ．
∴S_n=1+（n-1）•4ⁿ．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．