Question

15．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC=θ，若Γ的离心率为$\sqrt{2}$，则（　　）

• A． θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
• B． θ=$\frac{π}{2}$
• C． θ∈（$\frac{3π}{4}$，π）
• D． θ=$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 由Γ的离心率为$\sqrt{2}$，不妨设双曲线Γ：x²-y²=1，设B（x，y），C（-x，y），证明$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1-x²+y²=0，即可得出结论．

解答 解：∵Γ的离心率为$\sqrt{2}$，
∴不妨设双曲线Γ：x²-y²=1，
设B（x，y），C（-x，y），
∴$\overrightarrow{AB}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AC}$=（-x-1，y），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1-x²+y²=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴θ=$\frac{π}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．