Question

18．求函数f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，x∈（1，2]的值域．

Answer 1

分析 通过分离常数可将原函数变成f（x）=$2-\frac{2}{x+1}$，而根据单调性的定义即可判断出f（x）在区间（1，2]上单调递增，从而其值域便可求得为（f（1），f（2）]=（1，$\frac{4}{3}$]．

解答 解：f（x）=$\frac{2（x+1）-2}{x+1}=2-\frac{2}{x+1}$；
x增大时，$\frac{2}{x+1}$减小，-$\frac{2}{x+1}$增大，所以f（x）增大；
∴函数f（x）在（1，2]上单调递增；
∴$f（x）∈（f（1），f（2）]=（1，\frac{4}{3}]$；
∴函数f（x）在x∈（1，2]上的值域为（1，$\frac{4}{3}$]．

点评 考查通过分离常数化简函数解析式的方法，根据函数的单调性定义判断函数的单调性，以及根据函数的单调性求其值域．