Question

已知函数f（x）=

|log2x| 0＜x≤2 - 1 2 x+4 x＞2

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，f（x）在（0，2]上先减后增，在（2，+∞）单调递减，从而判断出a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，从而可推出ab=1，将abc的取值范围化为c的取值范围，从而求c的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=

|log2x| 0＜x≤2 - 1 2 x+4 x＞2

，
∴f（x）在（0，2]上先减后增，在（2，+∞）单调递减，
又∵a，b，c互不相等，
∴a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，
不妨设a，b∈（0，2]，c∈（2，+∞），
则log₂a+log₂b=0，
即ab=1，
则abc的取值范围是c的取值范围，
∵在（0，2]上，f（x）由+∞→0→1，
则0＜f（c）≤1，
即0＜-

1

2

c+4≤1，
解得，6≤c＜8．
故答案为：[6，8）．

点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了函数的单调性与函数的值的关系，属于中档题．