设{an}（n∈N*）为等差数列，则使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是________．
50
分析：根据等差数列|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=|a
1+1|+|a
2+1|+…+|a
n+1|=|a
1+2|+|a
2+2|+…+|a
n+2|=|a
1+3|+|a
2+3|+…+|a
n+3|=2010，可得数列{a
n}中 的有正有负，不妨设
，根据题意可得d＞3，根据|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=2010，去绝对值求和，即可求得结果．
解答：{a
n}（n∈N
*）为等差数列，因为|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=|a
1+1|+|a
2+1|+…+|a
n+1|=|a
1+2|+|a
2+2|+…+|a
n+2|=|a
1+3|+|a
2+3|+…+|a
n+3|，
∴{a
n}中的项一定满足
或
，
且项数n为偶数，设n=2k，k∈N
*，等差数列的公差为d，首项为a
1，不妨设
，
则a
1＜0，d＞0，且a
k+3＜0，由
可得d＞3，
∴|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=-a
1-a
2-…-a
k+a
k+1+a
k+2+…+a
2k=-2（a
1+a
2+…+a
k）+（a
1+a
2+…+a
k+a
k+1+a
k+2+…+a
2k）
=-2[ka
1+
d]+2ka
1+
d=k
2d=2010，
∵d＞3，
∴k
2d=2010＞3k
2，解得k
2＜670，而k∈N
*，
∴k≤25，故n≤50．
∴使|a
1|+|a
2|+…+|a
n|=|a
1+1|+|a
2+1|+…+|a
n+1|=|a
1+2|+|a
2+2|+…+|a
n+2|=|a
1+3|+|a
2+3|+…+|a
n+3|=2010成立的数列{a
n}的项数n的最大值是50．
故答案为：50．
点评：本题考查了等差数列的性质，根据题意求出数列的项的特点和公差的范围是解题的关键，属中档题．
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