Question

4．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}-2x+4}{x}}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x}&{x≤0}\end{array}\right.$的值域为（　　）

• A． R
• B． （-∞，1]∪[2，+∞）
• C． [1，2]
• D． （-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 可分别在每段上求函数f（x）的值域：x＞0时，可得到f（x）=$x+\frac{4}{x}-2$，从而根据基本不等式即可得出此时f（x）≥2；而x≤0时，配方便得f（x）=-（x+1）²+1，显然此时f（x）≤1，把这两种情况求得的范围求并集即可得出原函数的值域．

解答 解：①x＞0时，f（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}-2≥2$；
当$x=\frac{4}{x}$，即x=2时取“=”；
②x≤0时，f（x）=-（x+1）²+1≤1；
当x=-1时取“=”；
∴综上得原函数的值域为（-∞，1]∪[2，+∞）．
故选：B．

点评 考查函数值域的概念，分段函数值域的求法：在每段上求，再求并集，基本不等式的运用，注意判断是否取到“=”，配方求二次函数值域的方法．