Question

19．求函数f（x）=x²-2ax+3在区间[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求f（x）的对称轴为x=a，讨论a和区间[1，3]的关系：分a≤1，1＜a＜3，a≥3，这三种情况，对于每种情况根据二次函数f（x）在[1，3]上的单调性，或取到顶点值，或比较端点值，这样即可得出每种情况下的函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：f（x）的对称轴为x=a；
（1）若a≤1，则f（x）在[1，3]上单调递增；
∴f（x）的最大值为f（3）=12-6a，最小值为f（1）=4-2a；
（2）若1＜a＜3，则f（a）=-a²+3是f（x）的最小值；
f（1）-f（3）=4a-8；
∴①1＜a≤2时，f（3）=12-6a为f（x）的最大值；
②2＜x＜3时，f（1）=4-2a为f（x）的最大值；
（3）若a≥3，则f（x）在[1，3]上单调递减；
∴f（x）的最大值为f（1）=4-2a，最小值为f（3）=12-6a．

点评 考查二次函数的对称轴的求解公式，二次函数的单调性，以及根据单调性求函数的最大值、最小值，根据取得顶点的情况或比较端点值来求二次函数最值的方法，要熟悉二次函数的图象．